参数方程在解题中的广泛应用

2006-10-30 18:07:27    博士教育网  
  •  参数方程在解析几何中是一个十分重要的内容,而且是高中数学的一个难点。近几年来高考对参数方程和极坐标的要求稍有降低,但是,可用参数方程求解的问题和内容有所增加且与三角函数联系紧密。本文以具体的例子阐述参数方程的广泛应用。

      一、探求几何最值问题

      有时在求多元函数的几何最值有困难,我们不妨采用参数方程进行转化,化为求三角函数的最值问题来处理。

      例1(1984年考题) 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c,且c=10,,P为△ABC的内切圆的动点,求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。

      解 由,运用正弦定理,可得:

      ∵sinA·cosA=sinB·cosB

      ∴sin2A=sin2B

      由A≠B,可得2A=π-2B。

      ∴A+B=,则△ABC为直角三角形。

      又C=10,,可得:

      a=6,b=8,r=2

      如图建立坐标系,则内切圆的参数方程为

      所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα),从而=80-8cosα

      因0≤α<2π,所以

      例2 过抛物线 (t为参数,p>0)的焦点作倾角为θ的直线交抛物线于A、B两点,设0<θ<π,当θ取什么值时,|AB|取最小值。


      解 抛物线 (t为参数)

    的普通方程为=2px,其焦点为。

      设直线l的参数方程为:

       (θ为参数)

    代入抛物线方程=2px得:

      又∵0<θ<π

      ∴当θ=时,|AB|取最小值2p。

      二、解析几何中证明型问题

      运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义,能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。

      例3 在双曲线中,右准线与x轴交于A,过A作直线与双曲线交于B、C两点,过右焦点F作AC的平行线,与双曲线交于M、N两点,求证:|FM|·|FN|=·|AB|·|AC|(e为离心率)。

      证明 设F点坐标为(c,0),

      A点坐标为(,0)。

    又,设AC的倾角为α,则直线AC与MN的参数方程依次为:

      将①、②代入双曲线方程,化简得:

     同理,将③、④代入双曲线方程整理得:

      |FM|·|FN|=



    ∴|FM|·|FN|=|AB|·|AC|。

    双曲线的一条准线与实轴交于P点,过P点引一直线和双曲线交于A、B两点,又过一焦点F引直线垂直于AB和双曲线交于C、D两点,求证:|FC|·|FD|=2|PA|·|PB|。

      证明 由已知可得。设直线AB的倾角为α,则直线AB

    的参数方程为

       (t为参数)

    代入,可得:

    据题设得直线CD方程为 (t为参数)

    代入,得:,从而得,

    即得|FC|·|FD|=2|PA|·|PB|。

      三、探求解析几何定值型问题

      在解析几何中点的坐标为(x,y),有二个变元,若用参数方程则只有一个变元,则对于有定值和最值时,参数法显然比较简单。

      例5 从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线,求这两条直线在x轴上截距的乘积。

      解 化方程为参数方程:

       (θ为参数)

      设P为椭圆上任一点,则P(3cosθ,2sinθ)。

      于是,直线BP的方程为:

      直线的方程为:

      令y=0代入BP,的方程,分别得它们在x轴上的截距为和。

      故截距之积为:()·()=9。

      四、探求参数的互相制约条件型问题

      例6 如果椭圆与抛物线=6(x-n)有公共点,试求m、n满足

    的条件。

      分析 如果本题采用常规的代入消元法,将其转化为关于x的一元二次方程来解,极易导致错误,而且很难发现其错误产生的原因。若运用参数方程来解,则可“轻车熟路”,直达解题终点。

      解 设椭圆的参数方程为

      抛物线的参数方程为

       (t为参数)

      因它们相交,从而有:

      由②得:

      代入①得:

      配方得:。即
      
      ∵1≤≤9 ∴-2≤n-m≤2

      所以|m-n|≤2为两曲线有公共点的条件。

    注:特别地,当n=3/2时,即为广东省1985年高考理科第34题。

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